Um mit Putty in den Genuß der passwortlosen Authentifizierung zu kommen müssen Sie noch ein paar Angaben in Putty selbst machen. So müssen Sie u.a. den Speicherort der Schlüsseldatei angeben - sonst kann Putty sie nicht finden. Das geht unter "Connection" >> "SSH" >> "Auth" >> "Private key file for authentication":
Weiter geht es mit dem passenden Nutzernamen. Diesen stellen Sie unter "Connection" >> "Auto-Login Username" ein:

Um sicherzustellen, dass Putty und der Server die Verbindung mit der neuen Verschlüsselung (Version 2) verschlüsseln, weisen Sie Putty entsprechend an.
Jetzt geht es ans Abspeichern der Einstellungen, damit Sie sie nicht jedes Mal wieder eingeben müssen. Geben Sie vorher noch die richtige IP-Adresse des Servers und den Port an. Dann brauchen Sie sich wieder nur einen aussagekräftigen Namen zu überlegen und auf "Save" zu drücken.
Bei einer festen IP oder der Fernwartung über DynDNS können Sie selbstverständlich auch den Namen eintragen.
Jetzt fehlt nur noch eine passende Verknüpfung auf dem Desktop und dem automatisierten Anmelden steht nichts mehr im Wege.
Die ganz Bequemen können unter den "Eigenschaften" der Verknüpfung hinter einem @ noch den gespeicherten Namen angeben - dann nimmt Putty diese Werte automatisch beim Start als Parameter an und nach dem Doppelklick auf das Ikon ist man sofort "drin".
Vielen Dank für Teile der ursprünglichen Anleitung und für den Tip mit dem @ an Lutz Worch und Helmut Hullen!